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經濟訂貨批量（Economic Order Quantity，簡稱EOQ）是經典的經濟學和供應鏈模型，相信大家在學習供應鏈的時候都接觸過它。

雖然說模型已經不太適用于現在的市場環境，但是建模的思路依然值得我們學習，可以幫助我們提升數學方面的思維能力，這種方法論可以應用在其他的建模過程中，所以今天我來為大家重溫一下這個經典的模型。

一

構建EOQ模型的基本思路

買東西是有成本的，其中最主要的有這二塊，首先是訂貨的成本，要知道在100多年前，發明模型的那個年代是沒有電腦的，下訂單全靠手工計算，然后做文件資料。

在模型設計者看來，不管買多少數量，訂貨成本都是一樣的，買100件和1萬件的訂貨成本沒有差別，這是模型的假設。

第二塊成本是商品的持有成本，貨物在沒有賣出去之前，會產生一些費用，比如說如果你是借錢來買商品的，需要支付利息和保管費，這部分費用與商品價格和訂貨量有關。

就這樣，我們總結出了訂貨相關的費用，企業的目標是要讓總的成本最小，要算出訂貨成本和持有成本之和的最小值。

EOQ模型假設資源是無限的，也就沒有資源的約束條件，當然我們知道在現實中是不可能的，總是存在著各種資源的瓶頸，比如原材料、人力資源、費用預算等，都是有上限的，不可能想要多少，就有多少。

但EOQ就是基于無約束條件下的求解，去尋找成本最小的那個值，也叫極值。好了，讓我們開啟這趟尋找極值之旅吧。

二

建立模型公式

我們需要建立一個場景，這樣就更有代入感。假設張三在上海經營著一家精品咖啡店，需要經常采購高品質的咖啡豆。

張三的店生意不錯，采購的豆子都可以消耗完，需求量就等于采購量，他平均每年需要采購500包豆子，所以年需求量就是500。總成本是由訂貨成本和持有成本組成的，我們就來分別設立公式計算。

1.訂貨成本

假設張三每次的訂貨量是Q，那么他在一年中采購次數就等于500÷Q，這是反比關系，每次買的數量越多，一年中采購次數就越少。

張三每次下單都需要花費一些時間，而時間是有成本的，他在這段時間里可以打幾杯咖啡，或是陪顧客聊聊天，他為了下訂單，就做不了這些增值的事情了，所以下單是有成本的。

假設張三每次下單補貨，不管買多少包咖啡豆，都相當于是100元。每年的總訂貨成本就等于：

每年訂貨成本=500/Q×100=50000/Q

如果把訂貨量定義為從1至100的連續整數，套入上面的公式中，就能得到這樣的一條曲線。

張三每次只訂購1包豆子，全年他需要采購的次數是500次，年訂貨成本就是50000元。如果張三為了省事，每次買100包，一年里只需要采購5次，那么年訂貨成本只需500元。

這條曲線的特征是在最初階段，隨著購買次數的增加，訂貨成本迅速降低，接下來的降速雖然變慢了，但永遠也不會為零。

2. 持有成本

咖啡豆不能長期存放，時間久了，咖啡的風味會變差。如果囤積了太多的豆子，還會占用張三的流動資金，會影響他采購其他的原料，他也沒有錢去支付店鋪租金、工資和其他運營費用。

張三經過測算，每包咖啡豆每年會占用200元的資金成本。為了和訂貨成本保持一致，要使用相同的單位，于是就得到了每年的持有成本，它等于：

每年持有成本=200×平均庫存量

這個公式想要表達的是，豆子的庫存越多，張三的持有成本就越高，這點非常符合邏輯。如何來計算平均庫存量呢？在EOQ模型里使用的一個非常樸素的方法。

假設張三每次都是等到庫存消耗殆盡了才安排補貨，而且都是立即到貨，每次補貨的數量也是固定的，這樣他的庫存最小值為零，最大值就是經濟訂貨量Q，所以平均庫存就是零加上Q除以2。年持有成本就等于了：

每年持有成本=200×Q/2=100×Q

張三的咖啡豆庫存越多，它的持有成本就會越高，肯定是成正比關系，make sense，沒毛病。

把持有成本的公式也加進去，就會得到這樣的一張圖。當張三每次只買一包咖啡豆時，年持有成本是100元，當他一次性買100包，年持有成本就高達10000元。

圖中訂貨和持有成本在某處相交了，他們的交叉點，是否可以給我們一些啟示呢？

根據此前提出的要求，我們的目標是最小化訂貨成本和持有成本之和，現在就可以把這兩項成本加在一起，得到了這樣的公式：

每年總成本=每年訂貨成本+每年持有成本

=50000/Q+(100×Q)

我們把每年總成本曲線也加進來，就會發現它是一條很有意思的線，一開始隨著訂貨數量的增加而減少，但是到達一定量之后，總成本開始回升，我們要求的就是這條曲線上的最小值，這里就是經濟訂貨量。

三

求解模型

有兩種求解方法，第一種是窮舉法，我們知道訂貨量不可能小于等于零，而且它肯定是一個整數，比如10，20，30，只要把公式列出來，在Excel里輸入1到100的數字，然后很快就能計算完畢，在篩選中查找最小的總成本對應的數量就行了。

比如在下面這個公式里，當Q是22時，就能得到最小值4473。

每年總成本=50000/Q+(100×Q)

第二種方法是使用微積分來求解，我們從上面的曲線上看到有一個最小值，而微積分正好可以幫助我們找出那個極值。極值是曲線斜率是零的地方，也就是曲線的“谷底”，可以使用一階求導來計算。

好了，數學就講到這兒，不再深入展開求導過程了，否則讀者又要跑光了。好在這里有一個公式，可以快速幫我們算出經濟訂貨批量。

EOQ=√((2×年需求量×每次訂貨成本)/每單位的年度持有成本)

=√((2×500×100)/200)≈22

四舍五入后，張三每次最經濟的訂貨數量就是22包，能夠讓他獲得訂貨成本和持有成本總和的最小值。

四

模型的實用價值、給予我們的啟示

經濟訂貨量是公司在現金流計劃中使用的重要工具之一，用于最小化庫存成本或減少庫存中的現金數量。

對于一些公司，如快速消費品公司，庫存是他們最大的資產，他們需要適當的采購計劃，以便有足夠的庫存來滿足客戶的需求，但同時也要控制庫存，為公司節省成本。

經濟訂貨量有助于估計庫存水平，還可以評估再訂貨點。重新訂購需要在庫存耗盡之前執行，否則公司將會因為缺貨，導致銷售收入的損失。

現在還會使用EOQ的場景已經不太多了，主要是模型本身存在著一些缺陷，但是模型的構建思路對我們還是很有啟發的。

建模的思路是分三步走，首先是回答“我要什么？”是利潤最高還是成本最小？先要想清楚這個問題。

第二，回答“我有什么數據？”構建模型一定要有數據，但數據信息有很多，哪些才是能幫助我求解的數據？有些數據雖然很好，但獲取過于困難，恐怕也只能放棄。

最后是求解模型，對于供應鏈人，我們或許不擅長數學編程，但總有高手可以幫我們解決求解難題，所以不用過于擔心。

我們是業務部門，每天都在運營中摸爬滾打，懂一些建模的原理，可以幫助我們找到優化供應鏈的路徑，這就是學習EOQ的目的所在。